一、什么是二次函数
二次函数是指形如 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数，其中 $ a \neq 0 $。这里的 $ a $、$ b $、$ c $ 都是常数，且 $ a $ 不为零，否则函数将不再是二次的。
二、二次函数的一般形式与图像
一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其图像是一个抛物线，根据 $ a $ 的正负决定开口方向：
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
三、顶点坐标公式
二次函数的图像顶点（即最高点或最低点）的坐标可以通过以下公式计算：
顶点横坐标：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
代入原式可得纵坐标：
$$ y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) $$
因此，顶点坐标为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $$
四、对称轴
二次函数的图像关于直线 $ x = -\frac{b}{2a} $ 对称，这条直线称为对称轴。
五、判别式与根的关系
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其判别式为：
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
根据判别式的不同值，可以判断方程的根的情况：
- 当 $ \Delta > 0 $ 时，有两个不相等的实数根；
- 当 $ \Delta = 0 $ 时，有一个实数根（重根）；
- 当 $ \Delta < 0 $ 时，无实数根（有两个共轭复数根）。
六、函数的增减性
在对称轴两侧，二次函数的单调性发生变化：
- 当 $ a > 0 $ 时，函数在对称轴左侧递减，在右侧递增；
- 当 $ a < 0 $ 时，函数在对称轴左侧递增，在右侧递减。
七、实际应用举例
二次函数在现实生活中有广泛的应用，例如：
- 抛物线运动（如投掷物体的轨迹）；
- 最大利润或最小成本问题；
- 建筑设计中的拱形结构分析；
- 物理学中自由落体运动的位移公式等。
八、常见题型解析
1. 求顶点坐标：使用顶点公式，代入数值即可。
2. 求函数的最值：根据开口方向确定最大值或最小值。
3. 求函数的零点：解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，利用求根公式或因式分解。
4. 图像绘制：找出顶点、对称轴、与坐标轴的交点，画出大致图像。
九、总结
二次函数是初中和高中数学中的重要内容，掌握其基本性质、图像特征及应用方法，有助于解决各类实际问题。通过不断练习和理解，能够更灵活地运用这一数学工具。