在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的知识点，它不仅在理论学习中占据重要地位，而且在实际应用中也十分广泛。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供了一组三角函数的练习题，并附有详细解答。
练习题部分
题目一：
已知角 \( \theta \) 满足 \( \sin\theta = \frac{3}{5} \)，且 \( \theta \) 位于第二象限，请计算 \( \cos\theta \) 和 \( \tan\theta \) 的值。
题目二：
若 \( \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} \)，且 \( \tan\alpha = 2 \)，求 \( \tan\beta \) 的值。
题目三：
化简表达式 \( \sin^2x + \cos^2x - 2\sin x \cos x \)。
题目四：
解方程 \( 2\sin^2x - 3\sin x + 1 = 0 \)，其中 \( x \in [0, 2\pi] \)。
题目五：
已知 \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \)，求其周期和振幅。
答案解析
题目一解答：
根据题意，\( \sin\theta = \frac{3}{5} \)，并且 \( \theta \) 在第二象限。因此，余弦值为负。
利用勾股定理可得：
\[ \cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5} \]
所以，
\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \]
题目二解答：
由 \( \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} \)，得 \( \beta = \frac{\pi}{4} - \alpha \)。代入公式 \( \tan(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha} \)，因为 \( \tan\alpha = 2 \)，所以：
\[ \tan\beta = \frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3} \]
题目三解答：
原式可化简为：
\[ \sin^2x + \cos^2x - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin x \cos x = (1 - \sin 2x) \]
题目四解答：
令 \( t = \sin x \)，则方程变为：
\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]
解此二次方程得 \( t_1 = 1 \)，\( t_2 = \frac{1}{2} \)。因此：
- 当 \( \sin x = 1 \)，\( x = \frac{\pi}{2} \)
- 当 \( \sin x = \frac{1}{2} \)，\( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \)
综上所述，解为 \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \)。
题目五解答：
函数 \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \) 的周期为 \( T = \frac{2\pi}{2} = \pi \)，振幅为 1。
通过以上练习题及解答，相信同学们对三角函数有了更深的理解。希望这些题目能帮助大家巩固知识，提高解题能力！